完全數,質數,莫仙尼數
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羅緝熙醫生 Dr. C. H. Laws

又有新的莫仙尼質數/完全數被發現

這篇拙文本應在20045月寫的,因為在該月15Josh Findley幸運地找到了一個新的(第41個)莫仙尼質數 Mersenne Prime Number / 完全數Perfect Number.它們分別是224036583 1和 224036582 x(224036583 1),前者是一  7 , 2 3 5 , 7 3 3位數,後者是一1 4 , 4 7 1 , 4 6  5 位數.由於事忙沒有立即落筆.九月去到英國參加家庭團聚及到歐洲旅遊,和家族成員中幾位數學家談起,各人催促我回加之後撰文報導,誰知回來之後又忘記了,直至現在不能不下筆了,因為於2005218日再有一更新的(第42個)莫仙尼質數 / 完全數又被發現了.發現這個新莫仙尼質數 / 完全數的幸運兒是一位德國的眼科醫生Dr. Martin Nowah.他所找到的新莫仙尼質數是2 2 5 9 6 4 9 5 1   1,它是一個7 , 8 1 6 , 2 3 0  位數.新的完全數是2 2 5 9 6 4 9 5 0   x  ( 2 2 5 9 6 4 9 5 1   1 ),它是一個1 5 , 6 3 2 , 4 5 8位數.* *                         

 * *自從2005218Dr. Martin Nowak發現了第42個莫仙尼質數225964951-1之後,Curtis Cooper Steven Boone又於20051215日發現了第43個莫仙尼質數230402457-1200694日他們又發現第44個,也是目前已證實最大的莫仙尼質數232582657-1.當天我就得知這消息.這是一個9,808,358位數.相信下一個莫仙尼質數就會超過10,000,000位數,可以獲得美金十萬元巨額獎金. 據說已有人宣佈已發現第45個莫仙尼質數和第45個完數,現尚在核對中.相信不久就會有結果.相應地第43個完數就是230402456 x (230402457-1),第44個完數就是  232582656 x (232582657-1)  

  完數的公式是  2 n  - 1  x  ( 2 n   ─)    ( 2 n   ─)  必須是質數  Prime Number.這種形式的質數叫做莫仙尼質數  Mersenne Prime Number.要判斷   ( 2 n   ─)  是不是質數並不容易尤其是n很大的時候.因此新的,更大的莫仙尼質數很難被發現,沒有新的莫仙尼質數就沒有新的完全數.自從有了電腦之後很快便找出了一些新的莫仙尼質數和完全數.1996年有人成立一個組織叫做 電腦網絡新莫仙尼質數大搜尋  (  The Great Internet Mersenne Prime Search -- GIMPS ),邀請擁有個人電腦PC者參加,大家分工合作.這個組織直至目前又再找到八個莫仙尼質數和完全數.為何我在上面稱那兩位為幸運兒?就是因為他們參加了這組織.最後找出結果是他們,實際上每一參加者都有功勞.你也可以參加這組織去找尋下一個更新更大的莫仙尼質數和完全數.找到新莫仙尼質數/完全數是有可以名利雙收的.誰能找到一個超過1 0 , 0 0 0 , 0 0 0位數的新莫仙尼質數可以獲得十萬元巨額獎金,你有興趣嗎?(現在最新最大的莫仙尼質數就是2 2 5 9 6 4 9 5 1   1,它是一個  7 , 8 1 6 , 2 3 0  位數.順便在此一提,拙文  阿基米德難題   中所提  羅氏易解難題  超過半世紀仍未有人破解,可能是未受重視而已.希望你來破解它.)

    完全數又稱完數 Perfect Numbers 乃是自然數 Natural Numbers 中那些所有真正因數Factors之和等於它自己者,例如6之所有真正因數為 1, 2, 3 1+2+3=6,6是完全數,且是第一個最小的完全數.28是第二個完全數,因為28的所有真正因數為1, 2, 4, 7, 141+2+4+7+14=28 .第三個完數是496, (1+2+4+8+16+31+62+124+248=496).第四個完全數是8128, (1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128).1951年我在廣州中山醫科大學讀第一年級.當時已被發現的完全數只有12個.而且已有很多年沒有發現過新的完全數了.而且誰都不知道還有沒有新的完全數存在.物以稀為貴,完全數不愧為數中之珍寶.年青的我就不自量力地開始研究,希望找出一個新的完全數來,並希望解開完全數是有限還是無限之迷.

究竟有沒有一個公式Formula可以計算出完全數來呢?如果你觀察這幾個完全數:

  • 6=1+2+3=2x3=21x(22-1)

  • 28=1+2+4+7+14=4x7=22x(23-1)

  • 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248=16x31=24x(25-1)

  • 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=64x127= 26 x (27-1) 

看來完全數=2n x (2n+1-1) 2n-1 x (2 n -1)

但你會發覺68128之間似乎遺漏了120 [ 2 3 x (2 4 - 1) = 120] 2016 [ 2 5 x (2 6 - 1) = 2016].但1202016的確不是完全數.120的各真正因數為1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60.但 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=240 不等於120,所以120不是完全數.原來這個公式 2n-1 x (2n -1) 是有條件限制的.公式裡的 (2n -1) 必須是質數才適用.23 x (24 - 1) = 120,但 (24 - 1) = 15 不是質數,所以 120 不是完全數.

質數又稱為素數 Prime Numbers,自然數中除1和它自己之外無其它自然數可將它整除者如1, 2, 3, 5, 7, 11等.15除了1和它自已之外還有3和5都可以把它整除,故15不是質數.非質數之其它自然數稱為合成數 Composite Numbers

凡具有 (2n -1) 形式的質數稱為莫仙尼質數.每找到一個莫仙尼質數就有一個相當的完全數.

要計出 (2n -1) 並不難,但要判斷它是否質數就不是這麼容易.這就是為甚麼在1951年才只有12個莫仙尼質數/完全數被發現.自此之後在1952年有人一口氣發現了五個新的莫仙尼質數/完全數.由於有電腦的幫助,直至2001年12月31日為止已找出第1 - 37的莫仙尼數/完全數.第37個完全數是一個1819050位數.它是:

23021376 x (23021377 -1) =811686848628049109229933860915739009101161561021324848571345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
057318139040686147573022457856.
(共1819050個數字.如果全部印出來大概要幾百甚至上千頁紙.)

其實另外還有兩個已被發現,即一共39個(這兩個尚未知是否排第38, 39 ).那個最大的莫仙尼質數是於20011114日才發現的.它是 213466917-1 .它有4053946個位數Digits.相當的完全數就是213466916 x (213466917 -1) 了.它有8107892個位數.

現在時間又過了大半年,有沒有更新更大的莫仙尼質數/完全數出現我不知道.肯定的是現在有很多人正在努力去尋找.如你有興趣參加這工作可與我聯絡 ( Dr. C. H. Laws sums56@yahoo.com ).有一點你和我都可以相信但絕不能肯定可以找到新的莫仙尼質數/完全數.另一暫時未能肯定或否定的是奇數的完全數的出現(目前所有完全數均為偶數,而且個位數字不是6就是8).

何以稱那些所有真正因數Factors之和等於它自己的自然數為完全數 Perfect Numbers 呢?據說是因為上帝用6日創造天地海和其中萬物(記載在聖經創世記第一章),而6就是第一個那種數.月亮繞地球一圈大概是28日,而28又是第二個那種數.上帝每創造一樣東西之後必定說“上帝看著是好的”.上帝的創造的確是完美Perfect.

但聖經卻不是以6為完全的數目,7才是完全的數目.不錯上帝是用六日創造天地萬物,但不要忘記上帝在第七日歇了他一切的工,安息了.“上帝賜福給第七日,定為聖日”.這就是自古以來七日一週,第七日是安息日的由來.可惜現在的人將守安息日改為守星期日.工作了六日之後休息一日是多麼好的事.有工作有休息是最完美的,因此上帝認為7是最完美的.在第七日即安息日休息才是對的.星期日乃是第一日,並非是上帝所定的聖日.既然7是完全的數目,只有上帝是完全的,所以7也是屬於上帝的數目.

在聖經中6又是甚麼數目呢?聖經的啟示錄是一本比完全數更為深奧而神秘有趣的書,其中有很多預言.如果能解釋其中的預言就可以預知未來必會發生的事.第13章的預言提到有一個獸,第18節說這獸的數目是666.又說“因為這是人的數目”.人不同於獸,人的數目和獸的數目應該有分別.可能是說人的數目是6.獸的數目666是人的數目6所組成.何以人的數目是6呢?因為人是上帝在第6日創造的.欲知更多有關這問題的資料,請瀏覽 http://chinese.sdaglobal.org .相信比研究完全數,質數,莫仙尼數更有興趣.

回想當年醉心研究數學,寫了一篇有關論文,但因某些原因沒有發表(請看拙文 數學與我 ),很多人為我可惜.現在想起來卻覺得就算發表了又如何?聖經說:“敬畏耶和華(上帝)是知識的開端”箴言第1章第7節.無論在科學的角度,醫學的角度,數學的角度或任何的角度來看,這節聖經所說都是對的.越研究科學,醫學,數學....越覺得上帝的智慧奇哉,妙哉!聖經傳道書第12 章第12節說:“著書多,沒有窮盡.讀書多,身體疲倦”.這也是我的感言.

也是在1951-1952年我讀醫科第一年的時候,我和教授玩了一個自創的數學遊戲叫做 " 高級猜數術 " " Incredible Mathematic Game ".玩完之後教授說這遊戲不像是數學遊戲.這的確是數學遊戲!你能破解嗎?

 

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